Question

20．過(guò)直線(xiàn)x-2y+13=0上一動(dòng)點(diǎn)A（A不在y軸上）作拋物線(xiàn)y²=8x的兩條切線(xiàn)，M，N為切點(diǎn)，直線(xiàn)AM，AN分別與y軸交于點(diǎn)B，C．
（1）證明直線(xiàn)MN恒過(guò)一定點(diǎn)；
（2）證明△ABC的外接圓恒過(guò)一定點(diǎn)，并求該圓半徑的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用切線(xiàn)方程都過(guò)A，求出直線(xiàn)MN的方程，結(jié)合A在直線(xiàn)x-2y+13=0上，即可證明直線(xiàn)MN恒過(guò)一定點(diǎn)；
（2）確定A，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，AF為直徑，即可求解．

解答 （1）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₀，y₀），
切線(xiàn)AM的方程為y₁y=4（x+x₁），AN的方程為y₂y=4（x+x₂），
∵兩條切線(xiàn)都過(guò)A，
∴M，N在y₀y=4（x+x₀）上，
∵x₀-2y₀+13=0，
∴聯(lián)立可得4（x-13）=y₀（y-8），
∴直線(xiàn)MN恒過(guò)一定點(diǎn)（13，8）；
（2）由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0），切線(xiàn)AM的方程為y₁y=4（x+x₁），B（0，$\frac{4{x}_{1}}{{y}_{1}}$），
∴k_BF=-$\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
∵k_BA=$\frac{4}{{y}_{1}}$，
∴k_BFk_BA=-$\frac{8{x}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}}$=-1，
∴BF⊥BA．
同理可得CF⊥CA，
∴A，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，AF為直徑，
∴△ABC的外接圓恒過(guò)一定點(diǎn)F（2，0），
由AF的最小值=點(diǎn)F到直線(xiàn)x-2y+13=0的距離d=3$\sqrt{5}$，可得圓半徑的最小值為$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，考查△ABC的外接圓恒過(guò)一定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程是關(guān)鍵．