Question

已知冪函數(shù)f(x)=(n2-2n+1)xn2-2在（0，+∞）上是增函數(shù)，

a

=(sinθ，-2)，

b

=(1，cosθ)，g(x)=f(sinx+cosx)+2

3

cos2x
（1）當(dāng)

a

⊥

b

時(shí)，求g（θ）的值；
（2）求g（x）的最值以及g（x）取最值時(shí)x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由冪函數(shù)的定義可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，由此求得 n的值，從而得到f（x）的解析式．由

a

⊥

b

，求得tanθ=2，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)g（θ）的解析式為1+

2tanθ+2 3

tan2θ+1

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）由于g（x）=1+2sinxcosx+2

3

cos²x，化簡(jiǎn)為 2sin（2x+

π

3

）+

3

+1，由此求得g（x）的最值以及此時(shí)x的取值集合．

解答：解：（1）由冪函數(shù)的定義可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，故 n=2，f（x）=x²．
∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=sinθ-2cosθ=0，∴tanθ=2．
∴g（θ）=（sinθ+cosθ）²+2

3

cos²θ=1+2sinθcosθ+2

3

cos²θ=1+

2sinθcosθ+2 3 cos2θ

sin2θ+cos2θ

=1+

2tanθ+2 3

tan2θ+1

=1+

4+2 3

4+1

=

9+2 3

5

．…（6分）
（2）∵g（x）=1+2sinxcosx+2

3

cos²x=sin2x+

3

cos2x+

3

+1=2sin（2x+

π

3

）+

3

+1．
故g（x）的最大值為3+

3

，此時(shí)，2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，x的取值集合為{x|x=kπ+

π

12

，k∈z}．
g（x）的最小值為

3

-1，此時(shí)，2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，x的取值集合為{x|x=kπ-

5π

12

，k∈z}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，冪函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．