如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上,點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面POA;
(Ⅱ)當(dāng)PB取得最小值時(shí),請解答以下問題:
(i)求四棱錐P-BDEF的體積;
(ii)若點(diǎn)Q滿足 (λ>0),試探究:直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于?并說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)利用菱形ABCD的對角線互相垂直證明BD⊥AO,證明PO⊥平面ABFED,可得PO⊥BD,利用線面垂直的判定,可得BD⊥平面POA;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.(ⅰ)設(shè)AO∩BD=H,PO=x,則=( 2-x,2,-x),從而確定PB的最小值,進(jìn)而可得四棱錐P-BDEF的體積;
(ⅱ)確定的坐標(biāo),求出平面PBD的法向量,利用向量的夾角公式可求直線OQ與平面PBD所成的角,從而可得結(jié)論成立.
解答:(Ⅰ)證明:∵菱形ABCD的對角線互相垂直,
∴BD⊥AC,∴BD⊥AO,
∵EF⊥AC,∴PO⊥EF.
∵平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,且PO?平面PEF,
∴PO⊥平面ABFED,
∵BD?平面ABFED,∴PO⊥BD.
∵AO∩PO=O,∴BD⊥平面POA.…(4分)
(Ⅱ)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.(5分)
(。┰O(shè)AO∩BD=H.因?yàn)椤螪AB=60°,所以△BDC為等邊三角形,
故BD=4,HB=2,HC=2
又設(shè)PO=x,則OH=2-x,OA=4-x.
所以O(shè)(0,0,0),P(0,0,x),B(2-x,2,0),
=( 2-x,2,-x),(6分)
所以||=,
∴當(dāng)x=時(shí),|PB|min=
此時(shí)PO=,OH=(7分)
由(Ⅰ)知,PO⊥平面ABFED,所以=3.(8分)
(ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0,c),由(i)知,OP=,則A(3,0,0),B(,2,0),D(,-2,0),P(0,0,).
所以,(9分)
 (λ>0),
,∴
∴Q(),
=().    (10分)
設(shè)平面PBD的法向量為,則
,∴,
取x=1,解得:y=0,z=1,所以.(11分)
設(shè)直線OQ與平面PBD所成的角θ,
∴sinθ=|cos|==.(12分)
又∵λ>0∴sinθ>.(13分)
∵θ∈[0,],∴θ>
因此直線OQ與平面PBD所成角大于,即結(jié)論成立. (14分)
點(diǎn)評:本題考查線面垂直,考查線面角,考查利用空間向量解決立體幾何問題,確定平面的法向量是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn),則
AE
BD
的值為
4
4

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(2012•福州模擬)如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上,點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面POA;
(Ⅱ)記三棱錐P-ABD體積為V1,四棱錐P-BDEF體積為V2.求當(dāng)PB取得最小值時(shí)的V1:V2值.

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(2013•茂名二模)如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊CD,CB上,點(diǎn)E與點(diǎn)C,點(diǎn)D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O,沿EF將△CEF折起到△PEF的位置,使得平面PEF⊥平面ABFED

(1)求證:BD⊥平面POA
(2)當(dāng)點(diǎn)O 在何位置時(shí),PB取得最小值?
(3)當(dāng)PB取得最小值時(shí),求四棱錐P-BDEF的體積.

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(2012•茂名二模)如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊CD,CB上,點(diǎn)E與點(diǎn)C,點(diǎn)D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O,沿EF將△CEF折起到△PEF的位置,使得平面PEF⊥平面ABFED
(1)求證:BD⊥平面POA
(2)設(shè)AO∩BD=H,當(dāng)O為CH中點(diǎn)時(shí),若點(diǎn)Q滿足
AQ
=
QP
,求直線OQ與平面PBD所成角的正弦值.

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(2012•汕頭二模)如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上,點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O,沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABEFD.
(1)求證:BD⊥平面POA;
(2)記三棱錐P-ABD體積為V1,四棱錐P-BDEF體積為V2,且
V1
V2
=
4
3
,求此時(shí)線段PO的長.

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