Question

如圖，四邊形ABCD與A'ABB'都是邊長為a的正方形，點E是A'A的中點，A'A⊥平面ABCD．
（I）計算：多面體A'B'BAC的體積；
（II）求證：A'C∥平面BDE；
（Ⅲ）求證：平面A'AC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（I）多面體A'B'BAC是一個以A'B'BA為底，C點為頂點的四棱錐，由圖形知其體積易求；
（II）欲證A'C∥平面BDE，只須在面內找到一條線與線A'C平行即可，由圖形知，此線為一中位線，易作，易證；
（Ⅲ）欲證平面A'AC⊥平面BDE．先證BD⊥平面A'AC即可．

解答：（I）解：多面體A'B'BAC是一個以A'B'BA為底，C點為頂點的四棱錐，由已知條件，知BC⊥平面A'B'BA，
∴VC-A′B′BA=

1

3

SA′B′BA•BC
=

1

3

•a2•a
=

a3

3

（3分）
（II）證：設AC交BD于M，連接ME．
∵ABCD為正方形，所以M為AC中點，
又∵E為A'A的中點
∴ME為△A'AC的中位線∴ME∥A'C（5分）
∵ME?平面BDE，A'C?平面BDE
∴A'C∥平面BDE．（7分）
（Ⅲ）證：∵ABCD為正方形
∴BD⊥AC（9分）

∵A′A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD

∴A′A⊥BD．

又AC∩A′A=A

∴BD⊥平面A′AC．（11分）

∵BD?平面BDE ∴平面A′AC⊥平面BDE.

（12分）

點評：本題考點是組合體的面積、體積問題，考查了組合體的體積求法以及線面平行，面面垂直的證明，屬于直接用定理證明的題型，是立體幾何中的基本題型．