Question

函數f（x）=lnx，（a≠0）
（1）b=2時，函數h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間，求a的取值范圍
（2）函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象交于P，Q兩點，過PQ中點作x軸的垂線l，l與曲線y=f（x），y=g（x）分別交于M，N點，設曲線y=f（x）在M處的切線為l₁，曲線y=g（x）在N處的切線為l₂，證明l₁∥l₂．

Answer 1

解：（1）當b=2時，，
函數h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間，等價于＜0，在x＞0時解集非空集，
即關于x的不等式ax²+2x-1＞0（a≠0）有解，
當a＞0時，ax²+2x-1＞0顯然有解；
而當a＜0時，只需△=4+4a＞0，解得-1＜a＜0，
∴a的取值范圍為：a＞0或-1＜a＜0 …（7分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設0＜x₁＜x₂，由題意可得M、N的橫坐標，
則M點處的導數值為，N點處的導數值為，
假設存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即，
∴==f（x₁）-f（x₂）=，
假設（*），…（10分）
考慮t∈（0，1）的單調性，
∵
可知h（t）是t∈（0，1）的增函數（也是R⁺上增函數），故h（t）＜h（1）=0，
因此　，
此結論與題設（*）矛盾，
∴l(xiāng)₁∥l₂…（14分）
分析：（1）把b=2代入可得，而函數h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間等價于＜0在x＞0時解集非空集，分類討論可得；
（2）假設存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即，從而有=，由導數法考慮t∈（0，1）的單調性可得．
點評：本題考查函數與導數的綜合應用，涉及函數的恒成立問題以及構造函數利用單調性證明問題，屬中檔題．