Question

已知橢圓E與雙曲線

x2

3

-y²=1焦點(diǎn)相同，且過點(diǎn)（2，

5

3

），
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線AB和直線CD均過原點(diǎn)且互相垂直，若A，B，C，D四點(diǎn)都在橢圓E上，求四邊形ACBD面積S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由橢圓與雙曲線

x2

3

-y²=1有相同的焦點(diǎn)可得c值，由函數(shù)圖象過點(diǎn)（2，

5

3

）可解得a，b的值，從而得橢圓E的方程；
（II）分兩類討論：①若A，B，C，D為橢圓E的頂點(diǎn)，易求S，②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直線AB：y=kx（k≠0），則直線CD：y=-

1

k

x，由

x2 9 + y2 5 =1 y=kx

得（5+9k²）x²=45，可求|AB|，|CD|，由S=

1

2

|AB||CD|即可求得面積S的取值范圍．

解答： 解：（I）由題可設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中a²-b²=4，

4

a2

+

25

9b2

=1，解得a²=9，b²=5，
即橢圓E的方程為

x2

9

+

y2

5

=1；                                  …（4分）
（ II）由題意，分兩類討論：①若A，B，C，D為橢圓E的頂點(diǎn)，則S=6

5

，…（6分）
②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直線AB：y=kx（k≠0），則直線CD：y=-

1

k

x，
由

x2 9 + y2 5 =1 y=kx

得（5+9k²）x²=45，故有|AB|=2

45(1+k2) 5+9k2

，同理，|CD|=2

45(1+k2) 9+5k2

，
S=

1

2

|AB||CD|=6

5

45(1+k2)2 (9+5k2)(5+9k2)

=6

5

1- 16k2 45k4+106k2+45

=6

5

1- 16 45k2+106+ 45 k2

(k≠0)．
∵45k²+

45

k2

≥90，S∈[

90

7

，6

5

），
由①②，四邊形ACBD面積S的取值范圍是[

90

7

，6

5

）（用其他方法解答的請(qǐng)酌情給分）     …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查平面向量的基本運(yùn)算，解決（II）問的關(guān)鍵是恰當(dāng)表示出三角形的面積，屬于中檔題．