Question

【題目】電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：

	連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)（分鐘）	廣告播放時(shí)長(zhǎng)（分鐘）	收視人次（萬(wàn)）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用，表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．

（1）用，列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；

（2）問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多．

【思路分析】（1）根據(jù)題目中的條件列出相應(yīng)的不等式，同時(shí)注意，需滿足，這一隱含條件，建立不等式組，畫出平面區(qū)域；（2）根據(jù)的幾何意義即可求得最值．

【解析】（1）由已知，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為，即．（2分）

該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中陰影部分內(nèi)的整點(diǎn)（包括邊界）：（5分）

（2）設(shè)總收視人次為萬(wàn)，則目標(biāo)函數(shù)為．

考慮，將它變形為，這是斜率為，隨變化的一族平行直線．

為直線在軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值最大．（6分）

又滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即最大．（8分）

解方程組，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多．（10分）