Question

在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊做兩個銳角α、β，它們的終邊分別與單位圓O相交于A、B兩點，已知A、B的橫坐標分別為

2

10

、

2 5

5

（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）若點C為單位圓O上異于A、B的一點，且向量

OC

與

OA

夾角為

π

4

，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意及銳角三角函數(shù)定義求出cosα和cosβ的值，再由α、β為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα和sinβ的值，然后把所求的式子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）設出C的坐標為（m，n），代入單位圓方程中，得到關(guān)于m與n的關(guān)系式，記作①，再由已知的兩向量的夾角，利用平面向量的數(shù)量積運算法則表示出夾角的余弦值，整理后得到關(guān)于m與n的另一個關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②，即可求出m與n的值，從而確定出C的坐標．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，cosα=

2

10

，cosβ=

2 5

5

，…（2分）
∵α，β為銳角，
∴sinα=

1-cos2α

=

7 2

10

，sinβ=

1-cos2β

=

5

5

，…（4分）
則cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=

2

10

×

2 5

5

+

7 2

10

×

5

5

=

9 10

50

；…（6分）
（Ⅱ）設點C的坐標為（m，n），
∵C在單位圓上，則m²+n²=1，①…（7分）
∵向量

OC

與

OA

夾角為

π

4

，|

OC

|=|

OA

|=1，且

OC

=（m，n），

OA

=（cosα，sinα）=（

2

10

，

7 2

10

），
∴cos

π

4

=

OC • OA

| OC | | OA |

=

(m，n)•( 2 10 ， 7 2 10 )

1×1

，…（9分）
整理得：

2

2

=

2

10

m+

7 2

10

n，即m+7n=5，②…（10分）
聯(lián)立方程①②，
解得：

m= 4 5 n= 3 5

或

m=- 3 5 n= 4 5

…（11分）
∴點C的坐標為(

4

5

，

3

5

)或(-

3

5

，

4

5

)．　　　…（12分）

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，銳角三角形函數(shù)定義，數(shù)量積表示兩向量的夾角，平面向量的數(shù)量積運算法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．