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9.在正方體ABCD-A′B′C′D′中,E,F(xiàn),G,H分別是棱A′B′,A′D′,B′C′,C′D′的中點(diǎn),求證:平面AEF∥平面BGHD.

分析 利用中位線定理證明EF∥GH,得出GH∥平面AEF,連接AC交BD于O,連接A′C′交EF于M,交GH于N,交B′D′于O′,則可證四邊形AONM為平行四邊形,得出AM∥ON,于是ON∥平面AEF,于是得出平面AEF∥平面BGHD.

解答 證明:連接B′D′,
∵E,F(xiàn),G,H分別是棱A′B′,A′D′,B′C′,C′D′的中點(diǎn),
∴EF∥B′D′,HG∥B′D′,
∴EF∥HG,又EF?平面AEF,HG?平面AEF,
∴HG∥平面AEF.
連接AC交BD于O,連接A′C′交EF于M,交GH于N,交B′D′于O′,
則A′M=C′N=12AO,∴MN=12A′C′,
又AO=12AC,AC=A′C′,AC∥A′C′,
∴四邊形AONM是平行四邊形,
∴AM∥ON,又AM?平面AEF,ON?平面AEF,
∴ON∥平面AEF,
又ON?平面BGHD,HG?平面BGHD,HG∩ON=N,
∴平面AEF∥平面BGHD.

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定定理,面面平行的判定定理,屬于中檔題.

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