Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

2

，AD=1，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．
（1）證明：PD∥平面EAC；
（2）證明：平面ADE⊥平面PBC．
（3）求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，由已知得OE∥PD，由此能證明PD∥平面EAC．
（2）由已知得AE⊥PB，AD⊥PA，AD⊥AB，從而PB⊥AD，進(jìn)而PB⊥平面ADE，由此能證明平面ADE⊥平面PBC．
（3）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，
∵底面ABCD為矩形，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，
∴OE∥PD，
∵OE?平面EAC，AD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
（2）證明：∵底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

2

，AD=1，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，
∴AE⊥PB，AD⊥PA，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，∴PB⊥AD，
∴PB⊥平面ADE，
又PB?平面PBC，
∴平面ADE⊥平面PBC．
（3）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
B（

2

，0，0），P（0，0，

2

），E（

2

2

，0，

2

2

），C（

2

，1，0），D（0，1，0），
∴

EC

=（

2

2

，1，-

2

2

），

EB

=（

2

2

，0，-

2

2

），

ED

=（-

2

2

，1，-

2

2

），
設(shè)平BEC的法向量

n

=（x，y，z），
則

EC • n = 2 2 x+y- 2 2 z=0 EB • n = 2 2 x- 2 2 z=0

，取x=1，得

n

=（1，0，1），
設(shè)平面ECD的法向量

m

=（a，b，c），
則

EC • m = 2 2 a+b- 2 2 c=0 ED • m =- 2 2 a+b- 2 2 c=0

，取c=

2

，得

m

=（0，1，

2

），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2

2 × 3

=

3

3

．
∴二面角B-EC-D的平面角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．