Question

在正三棱柱中，AB＝2，，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)的最短路線與的交點(diǎn)記為M，求：

（I）三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng);

（II）該最短路線的長(zhǎng)及的值;

（III）平面與平面ABC所成二面角（銳角）的大小

Answer 1

解：（I）正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)為6，寬為2的矩形

  其對(duì)角線長(zhǎng)為.

 （II）如圖，將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置，連接交于M，則就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)C₁的最短路線，其長(zhǎng)為

    .

    ，,

    故.

    （III）連接DB，，則DB就是平面與平面ABC的交線

    在中,

                                            

    又,

    由三垂線定理得.

    就是平面與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）,

    側(cè)面是正方形,

    .

    故平面與平面ABC所成的二面角（銳角）為.