Question

某興趣小組對(duì)偶函數(shù)f（x）的性質(zhì)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）在定義域R上滿足f（x+2）=f（x）+f（1）且在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，本組同學(xué)得出以下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（　　）

A．函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)

B．函數(shù)y=f（x）的周期為2

C．當(dāng)x∈[-3．-2]時(shí)f'（x）≥0

D．函數(shù)f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)都是函數(shù)的極小值點(diǎn)

Answer 1

分析：A選項(xiàng)先確定f（1）=f（-1）=0，從而再由f（x+2）=f（x），及f（x）為偶函數(shù)，可得出f（1+x）=f（1-x）即可證明命題為真；
B選項(xiàng)根據(jù)f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期為2；
C選項(xiàng)由f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）為偶函數(shù)可推知f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減；又因?yàn)閒（x）是周期為2的函數(shù)，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上單調(diào)遞減，從而f（x）在[-3，-2]上單調(diào)遞減，故f′（x）≤0；
D選項(xiàng)根據(jù)R上的偶函數(shù)在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，可知0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，根據(jù)f（x） 的周期為2，可知函數(shù)y=f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)都是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
故可得選出正確選項(xiàng)．

解答：解：對(duì)于A選項(xiàng)，f（-1+2）=f（-1）+f（1），∴f（-1）=0，又知f（x）為偶函數(shù)，
∴f（1）=f（-1）=0，∴f（x+2）=f（x）
∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x+2）=f（-x），∴f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，故A正確；
B選項(xiàng)根據(jù)f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期為2，故B正確；
C選項(xiàng)由f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）為偶函數(shù)可推知f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減；
又因?yàn)閒（x）是周期為2的函數(shù)，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上單調(diào)遞減，從而f（x）在[-3，-2]上單調(diào)遞減，故f′（x）≤0，所以C不正確；
D選項(xiàng)根據(jù)R上的偶函數(shù)在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，可知0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，根據(jù)f（x） 的周期為2，可知函數(shù)y=f（x）的圖象上橫坐標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)都是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以D正確
故正確結(jié)論的序號(hào)是A，B，D，錯(cuò)誤的是C
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查偶函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，合理運(yùn)用條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵