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7.如圖,△ABC中,∠BAC=60°,BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,且BE、CF交于D點(diǎn),求證:DE=DF.

分析 作輔助線在CB上截取CG=CE,可證出△CED≌△CGD(SAS),即可得出∠EDC=∠GDC,ED=GD,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,得出∠EBC+∠FCB=60°,在△DBC中,即可求出∠FDE=∠BDC=120°,可證出△BFD≌△BGD,即可得出FD=ED

解答 證明:由三角形內(nèi)角和定理,在△ABC中,
2∠EBC+2∠FCB+60°=180°,
解得∠EBC+∠FCB=60°,
在△DBC中,∠BDC=180°-(∠EBC+∠FCB)=180°-60°=120°,
∴∠FDE=∠BDC=120°,
在CB上截取CG=CE,由∠ECD=∠GCD,DC=DC,
得:△CED≌△CGD(SAS),
∴∠EDC=∠GDC,ED=GD,
由(1)知∠BDG+∠GDC=120°,
又∵∠BDG+2∠GDC=180°,
解得:∠BDG=∠GDC=∠EDC=60°
在△BFD和△BGD中,∠FBD=∠GBD,∠FDB=∠GDB=60°,BD=BD,
∴△BFD≌△BGD,
∴FD=DG,
∴FD=ED.

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),難度適中,屬于中檔題.

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