Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x²，x+1），$\overrightarrow$=（1-x，t），若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，則t的取值范圍為（　�。�

• A． （1，5）
• B． （-$\frac{1}{3}$，5）
• C． （-∞，5]
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 進行向量數(shù)量積的坐標運算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，從而得出f（x）=-x³+x²+tx+t，求導數(shù)f′（x）=-3x²+2x+t，根據(jù)題意可知f′（x）≥0在x∈（-1，1）上恒成立，從而有$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≥0}\\{f′（1）≥0}\end{array}\right.$，解不等式組即可得出t的取值范圍．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow={x}^{2}（1-x）+t（x+1）$=-x³+x²+tx+t；
∴f（x）=-x³+x²+tx+t；
∴f′（x）=-3x²+2x+t；
∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
∴f′（x）≥0在x∈（-1，1）上恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=-5+t≥0}\\{f′（1）=-1+t≥0}\end{array}\right.$；
∴t≥5；
∴t的取值范圍為[5，+∞）．
故選：D．

點評 考查向量數(shù)量積的坐標運算，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象．