已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+2在x=1處取得極值-1.
(1)求b、c的值;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)+t=0在區(qū)間[-1,1]上有實根,求實數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)由函數(shù)f(x)=x
3+bx
2+cx+2在x=1處取得極值-1,可得f(1)=-1,f′(1)=0,可求得b,c的值;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)+t=0在區(qū)間[-1,1]上有實根,設(shè)g(x)=f(x)+t=x
3+x
2-5x+2+t,則g′(x)=3x
2+2x-5=(3x+5)(x-1)求得g(x)的單調(diào)區(qū)間,得出g(x)在區(qū)間[-1,1]上遞增,要使關(guān)于x的方程f(x)+t=0在區(qū)[-1,1]上有實根,只需
由此解得實數(shù)t的取值范圍即可.
解答:解:(1)f′(x)=3x
2+2bx+c(1分)
由已知得:
| f′(1)=3+2b+c=0 | f(1)=3+b+c=-1 |
| |
(2分)
解得:
(1分)
(2)設(shè)g(x)=f(x)+t=x
3+x
2-5x+2+t,則g′(x)=3x
2+2x-5=(3x+5)(x-1)(1分)
∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-
),(1,+∞);
單調(diào)減區(qū)間(-
,1)
∴g(x)在區(qū)間[-1,1]上遞增(3分)
要使關(guān)于x的方程f(x)+t=0在區(qū)[-1,1]上有實根,只需
,(2分)
解得:-7≤t≤1(2分)
點評:考查函數(shù)在某點取得極值的條件和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,體現(xiàn)了解方程的思想方法,屬基礎(chǔ)題.