Question

點(diǎn)M是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)或邊界上一動(dòng)點(diǎn)，N是邊BC的中點(diǎn)，則

AN

•

AM

的最大值是

6

．

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD方向?yàn)閤軸正方向，在平面內(nèi)建立合適的坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示，再利用線性規(guī)劃方法解決問題．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD方向?yàn)閤軸正方向，
以AB方向?yàn)閥軸負(fù)方向建立坐標(biāo)系，則

AN

=（1，-2）
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則 

AM

=（x，y），則0≤x≤2，-2≤y≤0
令Z=

AN

•

AM

=x-2y，由題意可得Z的最大值在正方形的頂點(diǎn)處取得，
將A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)依次代入得：ZA=0，ZB=4，ZC=6，ZD=2，故Z=

AN

•

AM

的最大值為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，向量的主要功能就是數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，但關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，再將數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題．