【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2+(a﹣1)x﹣a,(a∈R),當x≥1時,f(x)≥0恒成立.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若正實數(shù)x1、x2(x1≠x2)滿足f(x1)+f(x2)=0,證明:x1+x2>2.
【答案】
(1)解:
當a≥﹣3時, ,f(1)=0.
∴當x≥1時,f(x)≥0成立.
當a<﹣3時,存在大于1的實數(shù)m,使得f'(m)=0
∴當1<x<m時,f'(x)<0成立.
∴f(x)在區(qū)間(1,m)上單調(diào)遞減;
∴當1<x<m時,f(x)<f(1)=0;
∴a<﹣3不可能成立.
所以a≥﹣3.
(2)解:不妨設(shè)x1<x2
∵正實數(shù)x1、x2滿足f(x1)+f(x2)=0,
有(1)可知,0<x1<1<x2;
又∵f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),
所以x1+x2>2x2>2﹣x1f(x2)>f(2﹣x1)
又∵f(x1)+f(x2)=0f(x2)=﹣f(x1)
所以只要證明:﹣f(x1)>f(2﹣x1)f(x1)+f(2﹣x1)<0
設(shè)g(x)=f(x)+f(2﹣x)則g(x)=2[lnx+ln(2﹣x)+x2﹣2x+1],
可得
∴當0<x<1時,g'(x)>0成立
∴g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)增函數(shù).
又∵g(1)=0
∴當0<x<1時,g(x)<0成立,即f(x)+f(2﹣x)<0.
所以不等式f(x1)+f(2﹣x1)<0成立.
所以x1+x2>2.
【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),通過當a≥﹣3時,當a<﹣3時,利用函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化求解a≥﹣3.(2)不妨設(shè)x1<x2推出f(x1)+f(x2)=0f(x2)=﹣f(x1),只要證明:﹣f(x1)>f(2﹣x1)f(x1)+f(2﹣x1)<0,設(shè)g(x)=f(x)+f(2﹣x)求出 ,利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化證明即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有:“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達式1+ 中“”即代表無數(shù)次重復(fù),但原式卻是個定值,它可以通過方程1+ =x求得x= .類比上述過程,則 =( )
A.3
B.
C.6
D.2
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【題目】如圖,已知AB是半徑為2的半球O的直徑,P,D為球面上的兩點且∠DAB=∠PAB=60°, .
(1)求證:平面PAB⊥平面DAB;
(2)求二面角B﹣AP﹣D的余弦值.
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ2﹣4ρsinθ+2=0.
(Ⅰ)把圓C的極坐標方程化為直角坐標方程;
(Ⅱ)將直線l向右平移h個單位,所得直線l′與圓C相切,求h.
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,動點P在以點C為圓心,且與直線BD相切的圓內(nèi)運動,設(shè) (α,β∈R),則α+β的取值范圍是 .
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△PAB是等邊三角形,AC⊥BC,且AC=BC=2,O、D分別是AB,PB的中點.
(1)求證:PA∥平面COD;
(2)求三棱錐P﹣ABC的體積.
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【題目】在△ABC中,設(shè)邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,且a>c.已知△ABC的面積為 , ,b=3.
(Ⅰ)求a,c的值;
(Ⅱ)求sin(B﹣C)的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+a),g(x)=﹣ +ax.
(1)函數(shù)h(x)=f(ex﹣a)+g'(ex),x∈[﹣1,1],求函數(shù)h(x)的最小值;
(2)對任意x∈[2,+∞),都有f(x﹣a﹣1)﹣g(x)≤0成立,求a的范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左焦點為F,第二象限的點M在雙曲線C的漸近線上,且|OM|=a,若直線MF的斜率為 ,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±3x
D.y=±4x
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