Question

（2013•長春一模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當(dāng)x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x，則函數(shù)f（x）在[0，2013]上的零點個數(shù)是

604

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Answer 1

分析：根據(jù)y=x² 與 y=2^x 的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個交點，在區(qū)間（-1，0]區(qū)間有一個交點，f（x）=x²-2^x=16無根，可得x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x有3個零點，且x∈（-6，-1]時，f（x）=x²-2^x無零點，進而分析出函數(shù)的周期性，分段討論后，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：y=x² 與 y=2^x 的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個交點，在區(qū)間（-1，0]區(qū)間有一個交點，
但當(dāng)x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x=16無根
即當(dāng)x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x有3個零點
由f（x）+f（x+5）=16，
即當(dāng)x∈（-6，-1]時，f（x）=x²-2^x無零點
又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期為10的周期函數(shù)，
在x∈[0，2013]，分為三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]
在x∈[0，4]函數(shù)有兩個零點，
在x∈（4，2004]有200個完整周期，即有600個零點，
在x∈（2004，2013]共有兩個零點，
綜上函數(shù)f（x）在[0，2013]上的零點個數(shù)是604
故答案為：604

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的零點，其中熟練掌握對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析出一個周期上函數(shù)的零點個數(shù)是解答的關(guān)鍵．