已知平面上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F(0,1)的距離與它到定直線y=3的距離相等.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C1的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F作直線l1交C2:x2=4y于A,B兩點(diǎn)(B在第一象限).若|BF|=2|AF|,求直線l1的方程.
(3)試問在曲線C1上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作曲線C1的切線l2交拋物線C2于D,E兩點(diǎn),使得DF⊥EF?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)設(shè)出Q的坐標(biāo),根據(jù)條件推斷出x和y的關(guān)系式,化簡(jiǎn)求得x和y的關(guān)系,即曲線的方程.
(2)設(shè)出A,B,利用拋物線的定義,表示出|AF|和|BF|,進(jìn)而利用|BF|=2|AF|,求得y2和y1的關(guān)系,令直線AB的方程x=t(y-1),與拋物線方程聯(lián)立消去x,表示出y1+y2和y1y2,聯(lián)立求得y1和y2,代入方程②求得t,進(jìn)而求得t.則直線AB的方程可得.
(3)設(shè)出M的坐標(biāo),對(duì)拋物線方程求導(dǎo),進(jìn)而求得切線l2的斜率,表示出l2的方程,同時(shí)利用m和n的關(guān)系式,表示出切線的方程與拋物線方程聯(lián)立,設(shè)D,E的坐標(biāo),表示出x1+x2和x1x2,根據(jù)FD⊥FE,推斷出x1x2+(y1-1)(y2-1)=0獲得關(guān)于m的方程,求得m,進(jìn)而通過(guò)m和n的關(guān)系式求得n.
解答:解:(1)設(shè)Q(x,y),
由條件有
x2+(y-1)2
=|y-3|

化簡(jiǎn)得曲線C1的方程為:x2=-4y+8.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
由|BF|=2|AF|,得y2=2y1+1①
令直線AB方程為x=t(y-1)
x=t(y-1)
x2=4y
?t2y2-(2t2+4)y+t2=0

y1+y2=
2t2+4
t2
y1y2=1

由①和③聯(lián)立解得:y1=
1
2
,y2=2

代入②得:t2=8
依題意直線AB的斜率大于0,即t>0,
所以t=2
2

故直線AB的方程為x-2
2
y+2
2
=0

(3)設(shè)M(m,n),由于y′=-
x
2

則切線l2的斜率為k=-
m
2
,
切線l2的方程為y-n=-
m
2
(x-m)

n=2-
m2
4

則切線l的方程為y=-
m
2
x+
m2
4
+2

y=-
m
2
x+
m2
4
+2
x2=4y
?x2+2mx-m2-8=0
.,
設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),
則x1+x2=-2m
x1x2=-m2-8,
y1+y2=-
m
2
(x1+x2)+
m2
2
+4=
3m2
2
+4

y1y2=
(x1x2)2
16
=
(m2+8)2
16

又FD⊥FE,則x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0,
則-m2-8+
(m2+8)2
16
-(
3m2
2
+4)+1=0
,
設(shè)t=m2+8,則有
t2
16
-t-
3
2
(t-8)-3=0
,即t2-40t+144=0,
得t=36,t=4(舍去).
所以t=m2+8=36,得m=±2
7
,n=-5

故存在點(diǎn)M滿足題意,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(±2
7
,-5)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了分析推理和基本的運(yùn)算能力.
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PF
+
PQ
)•(
PF
-
PQ
)=0

(1)試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn),交直線l于點(diǎn)N,已知
NA
=λ1
AF
,
NB
=λ2
BF
,求證:λ1+λ2
為定值.

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2
倍后得到點(diǎn)Q(x,
2
y
)滿足
AQ
BQ
=1

(1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn),且滿足
OM
+
ON
+
OH
=
0
,又點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G,試問四點(diǎn)M、G、N、H是否共圓,若共圓,求出圓心坐標(biāo)和半徑;若不共圓,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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