Question

已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時不等式成立， 若， ，則的大小關系是    ．

Answer 1

試題分析：由已知式子（x）+xf′（x），可以聯(lián)想到：（uv）′=u′v+uv′，從而可設h（x）=xf（x），有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的單調性問題很容易解決。解：構造函數(shù)h（x）=xf（x），由函數(shù)y=f（x）以及函數(shù)y=x是R上的奇函數(shù)可得h（x）=xf（x）是R上的偶函數(shù)，又當x∈（-∞，0）時h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以函數(shù)h（x）在x∈（-∞，0）時的單調性為單調遞減函數(shù)；所以h（x）在x∈（0，+∞）時的單調性為單調遞增函數(shù)．又因為函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，從而h（0）=0因為=-3，所以f（）=f（-3）=-f（3），由0＜log_π3＜1＜5^0.5＜3^0.5＜2，所以h（log_π3）＜h（5^0.5）＜h（2）=f（），即：b＜a＜c，故答案為．
點評：本題考查的考點與方法有：1）所有的基本函數(shù)的奇偶性；2）抽象問題具體化的思想方法，構造函數(shù)的思想；3）導數(shù)的運算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對數(shù)函數(shù)的圖象；5）奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反；5）奇偶函數(shù)的性質：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同號得正、異號得負）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本題結合已知構造出h（x）是正確解答的關鍵所在