Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱錐P-ABD的體積V=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求A到平面PBC的距離．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設BD和AC交于點O，連接EO．運用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）運用棱錐的體積公式，求得AB，作AH⊥PB交PB于H，證得AH⊥平面PBC，運用直角三角形PAB中面積相等，可得AH的長，即為所求；
（Ⅲ）推得∠APH為直線AP與平面PBC所成角，在Rt△APH中，運用正弦函數的定義，計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）證明：設BD和AC交于點O，連接EO．
∵ABCD為矩形，∴O為BD的中點．
又∵E為PD的中點，∴EO∥PB        …（3分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．                    …（5分）
（Ⅱ）V_P-ABD=$\frac{1}{6}$PA•AB•AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AB．由V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得AB=$\frac{3}{2}$．…（7分）
作AH⊥PB交PB于H．
由BC⊥AB，BC⊥PA，知BC⊥平面PAB．
∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．
又AH=$\frac{PA•AB}{PB}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴A到平面PBC的距離為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：AH⊥平面PBC．
∴∠APH為直線AP與平面PBC所成角…（12分）
在Rt△APH中，AH=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，AP=1，
∴sin∠APH=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴直線AP與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．…（15分）

點評 本題考查線面平行的判定和點到平面得到距離，以及線面角的求法，注意運用轉化思想，考查空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．