Question

7．如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABC和△BCD都為正三角形且BC=2，$AD=2\sqrt{3}$，E，F(xiàn)，H分別是棱AB，BD，AC的中點，G為FD的中點．
（1）求異面直線AD和EC所成的角的大小；
（2）求證：直線GH∥平面CEF．

Answer 1

分析 （1）確定∠CEF為異面直線AD和EC所成的角，即可求異面直線AD和EC所成的角的大��；
（2）連接BH交CE于點O，連接FO，證明：FO∥GH，即可證明直線GH∥平面CEF．

解答 （1）解：∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，
∴AD∥FE，
∴∠CEF為異面直線AD和EC所成的角．
在△CFE中，可求$CF=CE=\sqrt{3}$，$FE=\sqrt{3}$，∠ECF=60°，
故∠CEF=60°，即異面直線AD和EC所成的角是60°．
（2）證明：連接BH交CE于點O，連接FO，
∵E為AB的中點，H為AC的中點，
∴O為△ABC的重心，
∴$\frac{BO}{OH}=\frac{2}{1}$．
∵F為BD的中點，G為FD的中點，
∴$\frac{BF}{FG}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{BO}{OH}=\frac{BF}{FG}$，
∴FO∥GH，
∵FO?面CEF，GH?面CEF，
∴GH∥面CEF．

點評 本題考查空間角，考查線面平行的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．