Question

15．如圖所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=2$\sqrt{3}$，在三角形內挖去半圓（圓心O在邊AC上，半圓與BC、AB相切于點C、M，與AC交于N），則圖中陰影部分繞直線AC旋轉一周所得旋轉體的內外表面積之比為$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 旋轉體為圓錐內部挖去一個內切球，計算出球的半徑和圓錐的底面半徑即可代入面積公式計算．

解答 解：在Rt△ABC中，∵C=90°，B=60°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=3．
∴幾何體的外表面為S₁=πBC²+π×BC×AB=9π．
設圓O的半徑為r，由圓的性質得BM=BC=$\sqrt{3}$，∴AM=$\sqrt{3}$，OM=r，
∵Rt△AOM∽Rt△ABC，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{OM}{BC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{r}{\sqrt{3}}$，解得r=1．
∴幾何體的內表面積S₂=4πr²=4π．
∴幾何體的內外表面積之比為$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{4}{9}$．
故答案為：$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查了圓錐與內切球的關系，面積計算，屬于中檔題．