Question

（已知(

x

+

2

3 a2

)n(0＜a＜1)的展開式中第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為15：2，求：（1）T₄；（2）滿足T4＜1760xlogax的x的取值范圍．

Answer 1

分析：已知(

x

+

2

3 a2

)n(0＜a＜1)的展開式中第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為15：2，由此關(guān)系建立方程求出指數(shù)n，
（1）由二項(xiàng)式項(xiàng)的公式求T₄；
（2）將（1）的結(jié)論代入T4＜1760xlogax，解不等式，求出x的取值范圍；

解答：解：由題意

C 4 n

C 2 n

=

15

2

，解得n=12
（1）T₄=C₁₂³×(

x

)9(

2

3 a2

)3=1760×x

9

2

×a^-2
（2）由題意T4＜1760xlogax，得1760×x

9

2

×a^-2 ＜1760xlogax
即x

9

2

×a^-2＜xlogax，兩邊取以a為底的對數(shù)得log 2ax-

9

2

logax+2＞0
得log_ax＞4或logax＜

1

2

∵0＜a＜1，x＞0
∴x＞

a

或0＜x＜a⁴
即滿足T4＜1760xlogax的x的取值范圍是x＞

a

或0＜x＜a⁴

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理，解題的關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的公式，組合數(shù)的計(jì)算公式等，本題考查了排列組合與二項(xiàng)式定理中的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．主要考查根據(jù)公式進(jìn)行運(yùn)算的能力．