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已知函數f(x)=lnx-ax2-x,a∈R.
(1)若函數y=f(x)在其定義域內是單調增函數,求a的取值范圍;
(2)設函數y=f(x)的圖象被點P(2,f(2))分成的兩部分為c1,c2(點P除外),該函數圖象在點P處的切線為l,且c1,c2分別完全位于直線l的兩側,試求所有滿足條件的a的值.
(1)f′(x)=
1
x
-2ax-1=-
2ax2+x-1
x
(x>0)
,…(2分)
只需要2ax2+x-1≤0,即2a≤
1
x2
-
1
x
=(
1
x
-
1
2
)2-
1
4
,
所以a≤-
1
8
.…(4分)
(2)因為f′(x)=
1
x
-2ax-1

所以切線l的方程為y=(-4a-
1
2
)(x-2)+ln2-4a-2

g(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-
1
2
)(x-2)+ln2-4a-2]
,則g(2)=0.g′(x)=
1
x
-2ax+4a-
1
2
=-
2ax2-(4a-
1
2
)x-1
x
.…(6分)
若a=0,則g′(x)=
2-x
2x
,
當x∈(0,2)時,g'(x)>0;當x∈(2,+∞)時,g'(x)<0,
所以g(x)≥g(2)=0,c1,c2在直線l同側,不合題意;…(8分)
若a≠0,g′(x)=-
2a(x-2)(x+
1
4a
)
x
,
a=-
1
8
g′(x)=
(
x
2
-1)
2
x
≥0
,g(x)是單調增函數,
當x∈(2,+∞)時,g(x)>g(2)=0;當x∈(0,2)時,g(x)<g(2)=0,符合題意;…(10分)
a<-
1
8
,當x∈(-
1
4a
,2)
時,g'(x)<0,g(x)>g(2)=0,
當x∈(2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)>g(2)=0,不合題意; …(12分)
-
1
8
<a<0
,當x∈(2,-
1
4a
)
時,g'(x)<0,g(x)<g(2)=0,
當x∈(0,2)時,g'(x)>0,g(x)<g(2)=0,不合題意; …(14分)
若a>0,當x∈(0,2)時,g'(x)>0,g(x)<g(2)=0,
當x∈(2.+∞)時,g'(x)<0,g(x)<g(2)=0,不合題意.
故只有a=-
1
8
符合題意.  …(16分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數a的不同取值,寫出該函數的單調增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數的解析式;
(3)記(2)中的函數圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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