Question

(本小題滿分16分)
已知數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）對任意給定的，是否存在（）使成等差數(shù)列？若存在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；
（3）證明：存在無窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長為．

Answer 1

【解】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以；
綜上所述，．…………………3分
（2）當(dāng)時(shí)，若存在p，r使成等差數(shù)列，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174131082242.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，與數(shù)列為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)時(shí)不存在；…5分
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以，……………7分
令，得，此時(shí)，，
所以，，
所以；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在p，r；當(dāng)時(shí)，存在滿足題設(shè).
………………10分
（3）作如下構(gòu)造：，其中，
它們依次為數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)…12分
顯然它們成等比數(shù)列，且，，所以它們能組成三角形．
由的任意性，這樣的三角形有無窮多個(gè)．…………………14分
下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形和不相似：
若三角形和相似，且，則，
整理得，所以，這與條件相矛盾，
因此，任意兩個(gè)三角形不相似．故命題成立．……………………16分

略