Question

已知點B（-1，0）、C（1，0），平面上的動點P滿足|

CP

|•|

BC

|=

BP

•

BC

，記動點P的軌跡為曲線E．過點C作直線交曲線E于兩點M、N，G為線段MN的中點，過點G作x軸的平行線與曲線E在點M處的切線交與點A．
（Ⅰ）求曲線E的方程．
（Ⅱ）試問點A是否恒在一條定直線上？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出點P的坐標，利用題設(shè)等式建立等式整理氣的曲線E的方程．
（Ⅱ）設(shè)出M，N的坐標，對拋物線方程進行求導(dǎo)，表示出點M處的切線AM的斜率，表示出直線AM的方程，設(shè)MN的方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理表示出y₁+y₂，利用直線AG∥x軸，推斷出AG的方程最后聯(lián)立求得x=2m

x1

-x₁，同時把點A代入拋物線和直線方程整理求得x=-1，進而推斷出對任意的m，點A的橫坐標均為-1，即點A恒在直線x=-1上．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動點P（x，y），由|

CP

|•|

BC

|=

BP

•

BC

得2

(x-1)2+y2

=（x+1，y）•（2，0）
整理得y²=4x，所以曲線的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由拋物線的對稱性，不防設(shè)點M在x軸的上方，即y₁＞0
由y=2

x

，得y'=

1

x

，所以拋物線在點M處的切線AM的斜率k=

1

x1

，
所以直線AM的方程為y-y₁=

1

x1

（x-x₁）①
設(shè)直線MN的方程為x=my+1，由

x=my+1 y2=4x

得y²-4my-4=0
因為△=16m²+16＞0，所以y₁+y₂=4m，
所以MN的中點G（x₀，2m）
因為直線AG∥x軸，所以直線AG的方程為y=2m②，
由①②求得x=2m

x1

-x₁，
因為點在曲線E和直線MN上．所以y₁²=4x，且x₁=my₁+1
所以x=my₁-x₁=-1
所以對任意的m，點A的橫坐標均為-1，
故點A恒在直線x=-1上．

點評：本題主要考查直線與直線，直線與拋物線的位置關(guān)系和拋物線的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查了運算求解能力，推理論證能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程的思想．