Question

（2013•甘肅三模）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為

x=-1+ 3 5 t y=-1+ 4 5 t

t為參數(shù)）．若以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2

sin(θ+

π

4

)．
（I）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）求直線l被曲線C所截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）曲線的極坐標(biāo)方程即ρ=cosθ+sinθ，兩邊同乘以ρ得：ρ²=ρcosθ+ρsinθ，再根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式求得C的直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線參數(shù)方程代入圓C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求得直線l被曲線C所截得的弦長．

解答：解：（1）由ρ=

2

sin(θ+

π

4

)得：ρ=cosθ+sinθ，兩邊同乘以ρ得：ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
∴x²+y²-x-y=0，即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．
（2）將直線參數(shù)方程代入圓C的方程得：5t²-21t+20=0，
∴t1+t2=

21

5

，t1t2=4．
∴|MN|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

41

5

．

點評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線的參數(shù)方程，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．