Question

如圖，在二面角M-l-N的一個M內有Rt△ABC，其中∠A=90°，頂點B、C在二面角的棱l上，AB、AC與平面N所成的角分別為α、β，若二面角M-l-N的大小為θ，則下面的關系式中正確的是（　　）

A．sin²α+sin²β＜sin²θ

B．sin²α+sin²β=sin²θ

C．sin²α+sin²β＞sin²θ

D．sin²α+sin²β+sin²θ=1

Answer 1

分析：作AD⊥l于點D，作AE⊥平面N于點E，連結BE、CE、DE．證出∠ADE是二面角M-l-N的平面角，∠ABE、∠ACE分別為AB、AC與平面N所成的角，得∠ADE=θ、∠ABE=α且∠ACE=β．設AE=x，利用解三角形算出AB=

x

sinα

、AC=

x

sinβ

且AD=

x

sinθ

，在Rt△ABC中利用勾股定理與等積轉換得到

1

AD2

=

1

AB2

+

1

AC2

，代入前面的數(shù)據(jù)化簡整理即可得到
sin²α+sin²β=sin²θ，從而選出正確答案．

解答：解：作AD⊥l于點D，作AE⊥平面N于點E，連結BE、CE、DE
∵AE⊥平面N，∴DE是AD在平面N內的射影
∵AD⊥l，∴DE⊥l，
可得∠ADE就是二面角M-l-N的平面角，∠ADE=θ
又∵BE、CE分別是AB、AC在平面N的射影
∴∠ABE、∠ACE分別為AB、AC與平面N所成的角，得∠ABE=α且∠ACE=β
設AE=x，則Rt△ABE中，sinα=

AE

AB

，可得AB=

AE

sinα

=

x

sinα

同理得到AC=

x

sinβ

，AD=

x

sinθ

∵Rt△ABC中，AD為斜邊BC邊上的高
∴AD=

AB•AC

BC

，得

1

AD2

=

AB2+AC2

AB2•AC2

=

1

AB2

+

1

AC2

，
因此

sin2θ

x2

=

sin2α

x2

+

sin2β

x2

，化簡得sin²α+sin²β=sin²θ
故選：B

點評：本題給出銳二面角，在一個半平面內有Rt△ABC，直角邊AB、AC與另一個半平面所成角已知的情況下，探索這兩個角與二面角大小之間的關系．著重考查了二面角的平面角的定義及求法、直線與平面所成角和解直角三角形等知識，屬于中檔題．