【題目】設(shè)定義在上的函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)定義:如果實(shí)數(shù)滿足, 那么稱比更接近.對于(2)中的及,問:和哪個(gè)更接近?并說明理由.
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2);(3)比更接近.
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的取值范圍,分類討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)存在,使得成立,即成立.根據(jù)(1)的分類情況進(jìn)行討論分析,最后求出實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)構(gòu)造函數(shù):,,分別求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行分類討論:,判斷函數(shù)的正負(fù)性,從而判斷出和哪個(gè)更接近.
(1)
當(dāng)時(shí),,在R上為增函數(shù);
當(dāng)時(shí),由,得,即
,由,得.
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為;
(2)存在,使得成立,即成立.
由(1)知,當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù),則,
不滿足成立,
當(dāng)時(shí),若,則在上為增函數(shù),則,
不滿足成立,
若,即,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是;
(3)令,
,在上單調(diào)遞減,
故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;
,,在上單調(diào)遞增,
故,則在上單調(diào)遞增,.
①當(dāng),令
.
,故在上單調(diào)遞減,
,即
,
∴比更接近;
②當(dāng)時(shí),令
,
,故
在上單調(diào)遞減,
,即,
∴比更接近.
綜上,當(dāng)及時(shí),比更接近.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在時(shí)取得極值,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點(diǎn)在平面上的射影恰好在上.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明:平面平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把長為6,寬為3的矩形折成正三棱柱,三棱柱的高度為3,矩形的對角線和三棱柱的側(cè)棱、的交點(diǎn)記為.
(1)在三棱柱中,若過三點(diǎn)做一平面,求截得的幾何體的表面積;
(2)求三棱柱中異面直線與所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的離心率為,設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線方程,為焦點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn),為線段與拋物線的交點(diǎn),定義:.
(1)當(dāng)時(shí),求;
(2)證明:存在常數(shù),使得.
(3)為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn),且,判斷與的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A,B,C是拋物線W:y2=4x上的三個(gè)點(diǎn),D是x軸上一點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的頂點(diǎn),且四邊形ABCD為正方形時(shí),求此正方形的面積;
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形ABCD是否可能為正方形,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)求的前項(xiàng)和的最小值;
(3)若是等差數(shù)列,與的公差不相等,且,問:和中除第5項(xiàng)外,還有序號相同且數(shù)值相等的項(xiàng)嗎?(直接寫出結(jié)論即可)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)的長軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過P(1,0)作動直線AB交橢圓Γ于A,B兩點(diǎn),Q(4,3)為平面上一定點(diǎn)連接QA,QB,設(shè)直線QA,QB的斜率分別為k1,k2,問k1+k2是否為定值,如果是,則求出該定值;否則,說明理由.
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