Question

18．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是線段BC上一動點(diǎn)，Q是線段DC上一動點(diǎn)，$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CP}=（1-λ）\overrightarrow{CB}$，若集合M=$\{x|x=\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}\}$，N=$\left\{{x\left|{x=\frac{{{a^2}+{b^2}+1}}{3（a-b）}，a＞b，ab=1}\right.}\right\}$．則M∩N=[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2]．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AQ}$，根據(jù)λ的范圍求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$的范圍，即M的范圍，根據(jù)基本不等式求出N的范圍，得出M∩N．

解答 解：∵$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{DC}$，∴0≤λ≤1．
$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$．
$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+（1-λ）$（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}$．
$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}$=$\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）=$\frac{λ}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$λ{(lán)\overrightarrow{AD}}^{2}$=2λ．
∴M=$\{x|x=\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}\}$=[0，2]．
∵a＞b，ab=1，
∴a-b＞0，
$\frac{{a}^{2}+^{2}+1}{3（a-b）}$=$\frac{（a-b）^{2}+2ab+1}{3（a-b）}$=$\frac{a-b}{3}+\frac{1}{a-b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴N={x|x=$\frac{{a}^{2}+^{2}+1}{3（a-b）}$，a＞b，ab=1}=[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．
∴M∩N=[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2]．
故答案為：$[{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式及集合運(yùn)算，屬于中檔題．