Question

【題目】已知函數(shù)，（且），.

（1）若函數(shù)在上的最大值為1，求的值；

（2）若存在使得關于的不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）利用導數(shù)結合定義域討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值，從而解出的范圍；

（2）關于的不等式存在成立，等價于不等式在有解，令，對函數(shù)求導，求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，從而求出的最小值，即可求出的取值范圍。

（1）因為，令，，，

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上的最大值為，令，解得.

當，，

當時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

所以最大值1可能在或處取得，

而，

所以，解得.

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

所以最大值1可能在或處取得，

而，

所以，

解得，與矛盾.

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以最大值1可能在處取得，而，矛盾.

綜上所述，或.

（2）關于的不等式存在成立，

等價于不等式在有解，

設，，，

當即時，遞增，當，即時，遞減，

又，，∵，∴.