Question

已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b 是奇函數(shù)”．
（1）將函數(shù)g（x）=x³-3x²的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數(shù)h（x）=log2

2x

4-x

圖象對稱中心的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，求出平移后函數(shù)的解析式，并根據(jù)奇偶性的性質(zhì)判斷函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合題目中已知的真命題，可得答案．
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=log2

2x

4-x

圖象對稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)f（x）=h（x+a）-b是奇函數(shù)．根據(jù)奇函數(shù)定義域?qū)ΨQ及定義可求出a，b的值，得到對稱中心坐標．

解答：解：（1）將函數(shù)g（x）=x³-3x²的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，
平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=（x+1）³-3（x+1）²+2=x³-3x，
由于函數(shù)y=x³-3x是奇函數(shù)，
由題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標是（1，-2）．
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=log2

2x

4-x

圖象對稱中心為P（a，b），
由題設(shè)知函數(shù)f（x）=h（x+a）-b是奇函數(shù)．
則f（x）=log2

2(x+a)

4-(x+a)

-b．由不等式

2(x+a)

4-(x+a)

＞0的解集關(guān)于原點對稱，得a=2．
此時f（x）=log2

2(x+2)

2-x

-b，x∈（-2，2）．
任取x∈（-2，2），
由f（-x）+f（x）=0，得b=1，
所以函數(shù)函數(shù)h（x）=log2

2x

4-x

圖象對稱中心為P（2，1）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)圖象與圖象變化，奇偶函數(shù)圖象的對稱性，熟練掌握函數(shù)圖象平移變換法則及奇函數(shù)的定義和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．