Question

（文）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），設(shè)f′（x）的最小值為-

4

3

（I）求a的值；
（II）求f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=3x²+2ax-a=3（x+

a

3

）²-

a2

3

-a，當(dāng)x=-

a

3

時(shí)，f′（x）取最小值-

a2

3

-a=-

4

3

，由此能求出a．
（II）f（x）=x³+x²-x-1=（x+1）²（x-1），f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），列表討論能求出f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．

解答：解：（I）∵f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），
∴f′（x）=3x²+2ax-a=3（x+

a

3

）²-

a2

3

-a，
∵f′（x）的最小值為-

4

3

，
∴當(dāng)x=-

a

3

時(shí)，f′（x）取最小值-

a2

3

-a=-

4

3

，
解得a=1或a=-4（舍）
故a的值為1．…（4分）
（II）f（x）=x³+x²-x-1=（x+1）²（x-1），
f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），…（6分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化如下表：

x	（-∞，-1）	1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值0	↓	極小值 - 32 27	↑

當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，g（m）=f（-1）=0；
當(dāng)m≥1時(shí)，g（m）=f（m）=m³+m²-m-1，
∴g（m）=

0，-1＜m＜1 m3+m2-m-1，m≥1

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．