Question

方程x³-6x²+9x+1=0的實根個數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用導數(shù)的判斷函數(shù)的增減性，確定函數(shù)的極值，然后根據(jù)極值的正負，即可判斷出方程實根的個數(shù)．

解答：解：設f（x）=x³-6x²+9x+1，
∴f′（x）=3x²-12x+9，
令f′（x）=0，解得x₁=1或x=3，
當x＜1時，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，1）上單調遞增，
當1＜x＜3時，f′（x）＜0，則f（x）在（1，3）上單調遞減，
當x＞3時，f′（x）＞0，則f（x）在（3，+∞）上單調遞增，
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值f（1）=5，
當x=3時，函數(shù)f（x）取得極小值f（3）=1，
∵f（1）＞0，f（3）＞0，
∴函數(shù)f（x）與x軸只有一個交點，
∴方程x³-6x²+9x+1=0的實根個數(shù)是1個．
故選A．

點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)的判斷，根的個數(shù)問題一般會轉化為兩個函數(shù)的交點的個數(shù)問題，本題利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值，確定函數(shù)的簡圖，來確定交點的個數(shù)，運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想．屬于中檔題．