Question

已知函數(shù)f（x）的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f₂（x）﹣f₁（x）≤k（x﹣a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)f（x）=2sinx，x∈[0，]，試寫出f₁（x），f₂（x）的表達式，并判斷f（x）是否為[0，]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，請求對應的k的值；如果不是，請說明理由；
（2）已知b＞0，函數(shù)g（x）=﹣x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得，
于是f₂（x）﹣f₁（x）=2sinx．
若f（x）是[0， ]上的“k階收縮函數(shù)”，則2sinx≤kx在[0， ]上恒成立，且x₁∈[0， ]使得2sinx＞（k﹣1）x 成立．
令φ（x）=sinx﹣x，x∈[0， ]，則φ′（x）=cosx﹣1＜0，
所以φ（x）=sinx﹣x在[0， ]單調遞減，
∴φ（x）≤φ（0），x∈[0， ]，
即sinx≤x，于是2sinx≤2x在[0， ]恒成立；
又x₁= ，2sinx＞x成立．
故存在最小的正整數(shù)k=2，使f（x）為[0， ]上的“2階收縮函數(shù)”． 
（2）g'（x）=﹣3x²+6x=﹣3x（x﹣2），
令g'（x）=0得x=0或x=2．
令g（x）=0，解得x=0或3．
函數(shù)g（x），g′（x）的變化情況如下：
 
（i）b≤2時，g（x）在[0，b]上單調遞增，因此，g₂（x）=g（x）=﹣x³+3x²，g₁（x）=g（0）=0．
因為g（x）=﹣x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，
所以，①g₂（x）﹣g₁（x）≤2（x﹣0）對x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得g₂（x）﹣g₁（x）＞（x﹣0）成立．
①即：﹣x³+3x²≤2x對x∈[0，b]恒成立，
由﹣x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使﹣x³+3x²≤2x對x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²﹣3x+1）＜0成立．
由x（x²﹣3x+1）＜0得：x＜0或，
所以，需且只需．
綜合①②可得：
（ii）當b＞2時，顯然有，由于g（x）在[0，2]上單調遞增，根據(jù)定義可得：，
可得，
此時，g₂（x）﹣g₁（x）≤2（x﹣0）不成立．
綜合（i），（ii）可得：．