Question

【題目】如果你留心使會發(fā)現(xiàn)，汽車前燈后的反射鏡呈拋物線的形狀，把拋物線沿它的對稱軸旋轉一周，就會形成一個拋物面．這種拋物面形狀，正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡形狀，這種形狀使車燈既能夠發(fā)出明亮的、照射很遠的平行光束，又能發(fā)出較暗的，照射近距離的光線．我們都知道常規(guī)的前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成，明亮的光束，是由位于拋物面形狀反射鏡焦點的光源射出的，燈泡位于拋物面的焦點上，燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射形成平行光束，再經(jīng)過配光鏡的散射、偏轉作用，以達到照亮路面的效果，這樣的燈光我們通常稱為遠光燈：而較暗的光線，不是由反射鏡焦點的光源射出的，光線的行進與拋物線的對稱軸不平行，光線只能向上和向下照射，所以照射距離并不遠，如果把向上射出的光線遮�。�車燈就只能發(fā)出向下的、射的很近的光線了．請用數(shù)學的語言歸納表達遠光燈的照明原理，并證明．

Answer 1

【答案】遠光燈照明原理：由拋物線的焦點所在的光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與拋物線的對稱軸平行,證明見解析

【解析】

設為拋物線上一點，法線與軸交于，反射光線為，為拋物線的焦點，的斜率，根據(jù)角的正切值，證明即可.

遠光燈照明原理：由拋物線的焦點所在的光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與拋物線的對稱軸平行．

證明：不妨設拋物線方程為：y2＝2px（p＞0），焦點為F，P為拋物線上一點，FP的反射光線為PN，

如圖所示：設拋物線過點P的切線為直線l，法線交x軸于M，

由光的反射性質(zhì)可知∠FPM＝∠MPN，

由y2＝2px，不妨設P在第一象限，P（，y0），

當y0＝0時，直線l與y軸重合，顯然PN與x軸重合，

當y0≠0時，設直線l的斜率為k，

則直線l的方程為：y＝k（x）+y0，

代入拋物線方程可得：ky2﹣2py﹣ky02+2py0＝0，

令△＝4p2﹣4k（2py0﹣ky02）＝0可得k，

故法線PM的斜率為．

不妨設P在第一象限，設∠PMx＝α，∠PFM＝β，∠NPM＝θ，

則tanα，tanβ，

∴tanθ＝tan∠FPM＝tan（α﹣β）．

∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，

∴PN∥x軸．