Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，點D為AB的中點，A₁D=CD，
①求二面角A₁-CD-B的余弦值．
②求異面直線BC₁與A₁D所成角的大�。�
③設AB=2異面直線BC₁與A₁D之間的距離．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系．①不妨設AB=2，則AD=1，CD=$\sqrt{3}$．由A₁D=CD，利用勾股定理可得A₁A=$\sqrt{2}$．設平面A₁CD的法向量為：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$）．同理可得：平面CDC₁的法向量$\overrightarrow{n}$．利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$．即可得出．
②利用cos$＜\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{D{A}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{D{A}_{1}}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$即可得出異面直線BC₁與A₁D所成角的大小．
③由于$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{m}$=0，可得BC₁∥平面A₁CD．利用異面直線BC₁與A₁D之間的距離d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{m}|}$即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
①不妨設AB=2，則AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
∵A₁D=CD，∴$\sqrt{3}=\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+{1}^{2}}$，解得A₁A=$\sqrt{2}$．
∴D（0，0，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，-1，$\sqrt{2}$），
B₁（0，1，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，-1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
設平面A₁CD的法向量為：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x=0}\\{-y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{2}$，1）．
同理可得：平面CDC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1）．
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
②B（0，1，0），C₁$（\sqrt{3}，0，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$（\sqrt{3}，-1，\sqrt{2}）$．
∴cos$＜\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{D{A}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{D{A}_{1}}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$=$\frac{0+1+2}{\sqrt{6}\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴異面直線BC₁與A₁D所成角的大小為$\frac{π}{4}$．
③$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{m}$=0-$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=0，∴BC₁∥平面A₁CD．
$\overrightarrow{DB}$=（0，1，0），
∴異面直線BC₁與A₁D之間的距離d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了空間角、空間距離、法向量的應用、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．