Question

13．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是AD的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AD₁與BP所成角的大��；
（2）直線BP與平面ABD₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD₁與BP所成角的大�。�
（2）求出平面ABD₁的法向量，利用向量法能求出直線BP與平面ABD₁所成角．

解答 解：（1以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A（2，0，0），D₁（0，0，2），B（2，2，0），P（1，0，0），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BP}$=（-1，-2，0），
設(shè)異面直線AD₁與BP所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴異面直線AD₁與BP所成角的大小為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）$\overrightarrow{BP}$=（-1，-2，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），
設(shè)平面ABD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)直線BP與平面ABD₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴直線BP與平面ABD₁所成角為arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．