Question

8．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n²=a_n（S_n-1）．
（Ⅰ）求證“數(shù)列{$\frac{1}{S_n}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂$\frac{S_n}{S_{n+2}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求滿足T_n≥2+log₂3的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)_n=S_n-S_n-1代入題設(shè)遞推式整理求得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，進(jìn)而利用等差數(shù)列的定義推斷出數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列
（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）可求得數(shù)列$\frac{1}{{S}_{n}}$的通項(xiàng)公式，代入b_n中求得其表達(dá)式，進(jìn)而利用對數(shù)運(yùn)算的法則求得T_n，根據(jù)T_n≥2+log₂3利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得n的范圍，進(jìn)而求得最小正整數(shù)n．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵S_n²=a_n（S_n-1）∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1）（n≥2）
∴S_nS_n-1=S_n-1-S_n，即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=$\frac{1}{n}$，
∴b_n=log₂$\frac{S_n}{S_{n+2}}$=log₂$\frac{n+2}{n}$，
∴T_n=log₂（$\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}$×…×$\frac{n+2}{n}$）=log₂$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∵T_n≥2+log₂3，
∴l(xiāng)og₂$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$≥2+log₂3=log₂12
則（n+1）（n+2）≥24，解得n≥4，
∴滿足T_n≥2+log₂3的最小正整數(shù)為4．

點(diǎn)評 本題主要考查了數(shù)列的遞推式，等差關(guān)系的確定，數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式．