已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸,且過點(diǎn)(2,4).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線y=kx-2交拋物線于A、B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求弦AB的長.
分析:(1)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),由已知得:16=2p×2,則2p=8,由此能求出拋物線方程.
(2)由
y2=8x
y=kx
,得k2x2-(4k+8)x+4=0,再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解.
解答:解:(1)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)
由已知得:16=2p×2,則2p=8
故拋物線方程為y2=8x…(4分)
(2)由
y2=8x
y=kx-2
得,k2x2
-(4k+8)x+4=0…(6分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則△=(4k+8)2-16k2>0,即k>-1…(8分)
由韋達(dá)定理得:x1+x2=
4k+8
k2
x1x2=
4
k2

x1+x2
2
=2,即
4k+8
k2
=4,解得:k=2或k=-1(舍)…(10分)
則|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+4)(16-4)
=2
15
…(12分)
點(diǎn)評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:天驕之路中學(xué)系列 讀想用 高二數(shù)學(xué)(上) 題型:044

已知拋物線C的對稱軸與y軸平行,頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5,若將拋物線C向上平移3個單位,則在x軸上截得的線段為原拋物線C在x軸上截得的線段的一半;若將拋物線C向左平移1個單位,則所得拋物線過原點(diǎn),求拋物線C的方程.

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