Question

定義函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對(duì)任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)f(x2)

=C，則稱函數(shù)f（x）在D上的幾何平均數(shù)為C．已知f（x）=x，x∈[2，4]，則函數(shù)f（x）=x在[2，4]上的幾何平均數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中對(duì)于函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對(duì)任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)f(x2)

=C，則稱函數(shù)f（x）在D上的幾何平均數(shù)為C．易得若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則C應(yīng)該等于函數(shù)在區(qū)間D上最大值與最小值的幾何平均數(shù)，由f（x）=x，D=[2，4]，代入即可得到答案．

解答： 解：根據(jù)已知中關(guān)于函數(shù)f（x）在D上的幾何平均數(shù)為C的定義，
結(jié)合f（x）=x在區(qū)間[2，4]單調(diào)遞增，
則x₁=2時(shí)，存在唯一的x₂=4與之對(duì)應(yīng)，
故C=

2×4

=2

2

．
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的幾何平均數(shù)的定義，判斷出C等于函數(shù)在區(qū)間D上最大值與最小值的幾何平均數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．