Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（2+sinx，1），$\overrightarrow$=（2，-2），$\overrightarrow{c}$=（sinx-3，1），$\overrightarrowpggomkw$=（1，k）（x，k∈R）
（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$），求x的值；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，求f（x）的最小值；
（3）是否存在實數(shù)k，使得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrowuabbjvz$）⊥（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量關(guān)系的坐標(biāo)公式進(jìn)行化簡求解即可．
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（3）利用向量垂直的等價條件進(jìn)行化簡求解．

解答 解：（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$），
則$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=（sinx-1，-1），
則sinx-1-（-1）•（2+sinx）=0，
即2sinx=-1，
則sinx=-$\frac{1}{2}$，
則x=-$\frac{π}{3}$；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
則f（x）=（2+sinx，1）•（2，-2）=2（2+sinx）-2=2+2sinx，
則當(dāng)sinx=-1時，函數(shù)f（x）取得最大值，此時最小值為2-2=0．
（3）若存在實數(shù)k，使得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrowblijurw$）⊥（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$），
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrowhrklefy$）•（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=0，
即（3+sinx，1+k）•（sinx-1，-1）=0，
即（3+sinx）（sinx-1）-（1+k）=0
即sin²x+2sinx-3-1-k=0
即k=sin²x+2sinx-4=（sinx+1）²-5，
∵-1≤sinx≤1，
∴0≤（sinx+1）²≤4，
則-5≤（sinx+1）²-5≤-1，
即-5≤k≤-1
即存在，此時出k的取值范圍是[-5，-1]．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量與三角函數(shù)的綜合，考查學(xué)生的運算和轉(zhuǎn)化能力，利用向量數(shù)量積的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．