分析 分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)A(a,0),B(0,b)(0<a<1,0<b<1),求得直線AB的方程和圓的方程,運(yùn)用直線和圓相切的條件:d=r,求得a,b的關(guān)系,再由兩點(diǎn)的距離公式和基本不等式,解不等式可得AB的最小值,及此時(shí)A,B的位置.
解答 解:如圖,分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy.
設(shè)A(a,0),B(0,b)(0<a<1,0<b<1),
則直線AB方程為xaxa+\frac{y}\frac{y}=1,即bx+ay-ab=0.
因?yàn)锳B與圓C:(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以|b+a−ab|√2+a2=1,
化簡得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2,
因此AB=√a2+2=√(a+b)2−2ab=√(a+b)2−4(a+b)+4
=√(a+b−2)2,
因?yàn)?<a<1,0<b<1,所以0<a+b<2,
于是AB=2-(a+b).
又ab=2(a+b)-2≤(a+b2)2,
解得0<a+b≤4-2√2,或a+b≥4+2√2,
因?yàn)?<a+b<2,所以0<a+b≤4-2√2,
所以AB=2-(a+b)≥2-(4-2√2)=2√2-2,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2-√2時(shí)取等號,
所以AB最小值為2√2-2,此時(shí)a=b=2-√2.
答:當(dāng)A,B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2-√2(百米)時(shí),小道AB最短.
點(diǎn)評 本題考查基本不等式在最值問題中的運(yùn)用,同時(shí)考查直線和圓相切的條件,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | 2√2 | B. | 6 | C. | 14 | D. | 16 |
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