4.如圖,某城市有一塊半徑為1(單位:百米)的圓形景觀,圓心為C,有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規(guī)劃在拐角處(圖中陰影部分)只有一塊綠化地,后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路,便于市民快捷地往返兩條道路.規(guī)劃部門采納了此建議,決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問:A,B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短?

分析 分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)A(a,0),B(0,b)(0<a<1,0<b<1),求得直線AB的方程和圓的方程,運(yùn)用直線和圓相切的條件:d=r,求得a,b的關(guān)系,再由兩點(diǎn)的距離公式和基本不等式,解不等式可得AB的最小值,及此時(shí)A,B的位置.

解答 解:如圖,分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy.
設(shè)A(a,0),B(0,b)(0<a<1,0<b<1),
則直線AB方程為xaxa+\frac{y}\frac{y}=1,即bx+ay-ab=0.
因?yàn)锳B與圓C:(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以|b+aab|2+a2=1,
化簡得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2,
因此AB=a2+2=a+b22ab=a+b24a+b+4
=a+b22,
因?yàn)?<a<1,0<b<1,所以0<a+b<2,
于是AB=2-(a+b).
又ab=2(a+b)-2≤(a+b22
解得0<a+b≤4-22,或a+b≥4+22
因?yàn)?<a+b<2,所以0<a+b≤4-22,
所以AB=2-(a+b)≥2-(4-22)=22-2,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2-2時(shí)取等號,
所以AB最小值為22-2,此時(shí)a=b=2-2
答:當(dāng)A,B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2-2(百米)時(shí),小道AB最短.

點(diǎn)評 本題考查基本不等式在最值問題中的運(yùn)用,同時(shí)考查直線和圓相切的條件,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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