Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形， ，側(cè)面底面， ， ， ， 分別為， 的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．

（1）求證： 平面；

（2）若直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值．

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）在平行四邊形中，由條件可得，進(jìn)而可得。由側(cè)面底面，得底面，故得，所以可證得平面．（Ⅱ）先證明平面平面，由面面平行的性質(zhì)可得平面．（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)求出平面的法向量，根據(jù)線面角的向量公式可得。

試題解析：

（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，

∵， ， ，

∴，

∴，

∵， 分別為， 的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∵側(cè)面底面，且，

∴底面，

又底面，

∴，

又， 平面， 平面，

∴平面．

（Ⅱ）證明：∵為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，

∴，

又平面， 平面，

∴平面，

同理平面，

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，

∴平面．

（Ⅲ）解：由底面， ，可得， ， 兩兩垂直，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ， ， ，

所以， ， ，

設(shè)，則，

∴， ，

易得平面的法向量，

設(shè)平面的法向量為，則：

由，得，

令，得，

∵直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，

∴，即，

∴，

解得或（舍去），

故．

點(diǎn)睛：用向量法確定空間中點(diǎn)的位置的方法

根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，由條件確定有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用共線向量用參數(shù)（參數(shù)的范圍要事先確定）確定出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的運(yùn)算得到平面的法向量或直線的方向向量，根據(jù)所給的線面角（或二面角）的大小進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)而求得參數(shù)的值，通過(guò)與事先確定的參數(shù)的范圍進(jìn)行比較，來(lái)判斷參數(shù)的值是否符合題意，進(jìn)而得出點(diǎn)是否存在的結(jié)論。

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】如圖，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最大值是，已知點(diǎn)在橢圓上，其中為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)．證明：對(duì)任意的，點(diǎn)恒在以線段為直徑的圓內(nèi)．

Answer 1

【答案】（1）．（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)為F的最大距離是，M（1，e）在橢圓上，建立方程組，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線QN的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．

試題解析：

（1）由題可知解得∴橢圓的方程是．

（2）令， ，則， ，∴，

直線的方程為，代入整理得，

∴，∴，

∴， ，

∴，

∵， ， ，

∴對(duì)任意，點(diǎn)恒在以線段為直徑的圓內(nèi)．