Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-（k+1）x+2（k∈R），則f（

k+1

2

）=

 

；若當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥0恒成立，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將

k+1

2

帶入f（x）即可求得f(

k+1

2

)，求出f（x）的對稱軸x=

k+1

2

，討論

k+1

2

≤0和

k+1

2

＞0兩種情況，然后使得每種情況下f（x）在（0，+∞）的范圍或最小值滿足大于等于0，從而求出k的范圍即可．

解答： 解：f(

k+1

2

)=(

k+1

2

)2-

(k+1)2

2

+2=-

(k+1)2

4

+2=-

k2

4

-

k

2

+

7

4

；
f（x）的對稱軸為x=

k+1

2

；
（1）若

k+1

2

≤0，即k≤-1，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
又f（0）=2＞0；
∴對于任意的x＞0，f（x）≥0恒成立；
（2）若

k+1

2

＞0，即k＞-1，則：
f（x）在x＞0時(shí)的最小值為f（

k+1

2

）=-

k2

4

-

k

2

+

7

4

；
∴需-

k2

4

-

k

2

+

7

4

≥0成立；
解得-1-2

2

≤k≤-1+2

2

；
綜合（1）（2）得k的取值范圍為（-∞，2

2

-1]．
故答案為：-

k2

4

-

k

2

+

7

4

，(-∞，2

2

-1]．

點(diǎn)評：考查已知函數(shù)解析式求函數(shù)的值，以及二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求其在一區(qū)間上的范圍．