Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°．側(cè)面PAD是一等邊三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G是AD的中點．
（1）求證：BG⊥平面PAD；
（2）取AB、PC的中點M、N，求證：MN∥平面PAD；
（3）求二面角A-BC-P的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得BG⊥AG，由此利用平面PAD⊥平面ABCD，能證明BG⊥平面PAD．
（2）取PD的中點H，連結(jié)AH與HN，由已知得四邊形AMNH是平行四邊形，由此能證明MN∥平面PAD．
（3）由已知得二面角A-BC-P的平面角為∠PBG，由此能求出二面角A-BC-P的大�。�

解答： （1）證明：∵ABCD為菱形，且∠DAB=60°，
∴△ABD為等邊三角形，且G為AD的中點，
∴BG⊥AG，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD．
（2）證明：取PD的中點H，連結(jié)AH與HN．
∵H、N分別為PD、PC的中點，
∴HN∥CD，且HN=

1

2

CD，
又∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥CD，且AB=CD．
又∵M為AB的中點，∴AM∥CD，且AM=

1

2

CD．
∴HN∥AM，且HN=AM，
∴四邊形AMNH是平行四邊形，
∴AH∥MN，
又∵AH?平面PAD，MN不包含于平面PAD，
∴MN∥平面PAD．…（8分）
（3）解：由前證明可得：PG垂直于平面ABC，AD垂直于平面PGB，
得到：AD垂直BG和BP，又AD平行于BC，
即得：BC垂直于BG和BP，
則二面角A-BC-P的平面角為∠PBG．
∵△ABD為等邊三角形，
側(cè)面PAD是一等邊三角形，
∴在三角形PBG中，∠PBG=45°，
∴二面角A-BC-P的大小為45°．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．