Question

以下命題
①x∈R，x+

1

x

≥2恒成立；   
②△ABC中，若sinA=sinB，則A=B；
③若向量

a

=(x1，y1)  ，

b

=(x2，y2)，則

a

⊥

b

?x₁•x₂+y₁•y₂=0；
④對(duì)等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n，若對(duì)任意正整數(shù)n有S_n+1＞S_n，則a_n+1＞a_n對(duì)任意正整數(shù)n恒成立；
⑤a=3是直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7平行但不重合的充要條件．
其中正確的序號(hào)是

②③⑤

．

Answer 1

分析：對(duì)于①x＜0時(shí)，不正確；對(duì)于②，因?yàn)椤鰽BC中，當(dāng)sinA=sinB時(shí)，A=B或A+B=π，故三角形是等腰三角形；對(duì)于③若向量

a

=(x1，y1)  ，

b

=(x2，y2)，則

a

⊥

b

?x₁•x₂+y₁•y₂=0，正確；對(duì)于④由S_n+1＞S_n，則a_n+1＞0，不一定是a_n+1＞a_n，故不正確．⑤a=3時(shí)，可檢驗(yàn)兩直線平行且不重合，但當(dāng)兩直線平行且不重合時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，a=0和a=1不成立，由一次項(xiàng)系數(shù)之比相等但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求得a=3，故可得答案．

解答：解：對(duì)于①因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，x+

1

x

≥2不成立，故不正確；對(duì)于②，因?yàn)椤鰽BC中，當(dāng)sinA=sinB時(shí)，A=B或A+B=π，故三角形是等腰三角形，故正確．對(duì)于③若向量

a

=(x1，y1)  ，

b

=(x2，y2)，則

a

⊥

b

?x₁•x₂+y₁•y₂=0，正確；
對(duì)于④對(duì)等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n，若對(duì)任意正整數(shù)n有S_n+1＞S_n，則a_n+1＞0，不一定是a_n+1＞a_n，故不正確．⑤a=3時(shí)，可檢驗(yàn)兩直線平行且不重合，但當(dāng)兩直線平行且不重合時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，a=0和a=1不成立，由一次項(xiàng)系數(shù)之比相等但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求得a=3，故 a=3是直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的充要條件，故正確．
故答案為②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線平行的條件和性質(zhì)，基本不等式，等差數(shù)列的性質(zhì)以及由三角函數(shù)值判斷角之間的關(guān)系．