已知點P是圓x2+y2=1上任意一點,過點P作y軸的垂線,垂足為Q,點R滿足
RQ
=
3
PQ
,記點R的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(0,1),點M、N在曲線C上,且直線AM與直線AN的斜率之積為
2
3
,求△AMN的面積的最大值.
分析:(I)根據(jù)
RQ
=
3
PQ
,確定P,R坐標(biāo)之間的關(guān)系,利用點P是圓x2+y2=1上任意一點,可得點R的軌跡方程;
(Ⅱ)(1)當(dāng)直線MN的斜率不存在時,不合題意;
(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時,確定直線MN過定點T(0,-3),再計算△AMN的面積,利用換元法,借助于基本不等式,即可求得△AMN的面積的最大值.
解答:解:(I)設(shè)R(x,y),P(x0,y0),則Q(0,y0).
RQ
=
3
PQ
,∴
x0=
3
3
x
y0=y
,
∵點P是圓x2+y2=1上任意一點,
x02+y02=1,
∴點R的軌跡方程:
x2
3
+y2=1
.…(6分)
(Ⅱ)(1)當(dāng)直線MN的斜率不存在時,設(shè)MN:x=t(-
3
<t<
3
)

M(t,
1-
t2
3
)
N(t,-
1-
t2
3
)
,∴kAMKAN=
1
3
,不合題意.…(7分)
(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)lMN:y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2
聯(lián)立方程
y=kx+b
x2
3
+y2=1
,得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.
∴△=12(3k2-b2+1)>0,x1+x2=
-6kb
1+3k2
,x1x2=
3b2-3
1+3k2
.…(9分)
kAMkAN=
y1-1
x1
y2-1
x2
=
k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2
x1x2
=
2
3

(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0
x1+x2=
-6kb
1+3k2
,x1x2=
3b2-3
1+3k2
代入上式,得b=-3.
∴直線MN過定點T(0,-3).…(11分)
S△AMN=
1
2
|AT|•|x1-x2|=2
(x1+x2)2-4x1x2
=4
3
3k2-8
1+3k2
.…(13分)
3k2-8
=t(t>0)
,即3k2=t2+8,∴
3k2-8
1+3k2
=
t
t2+9
=
1
t+
9
t
1
6

當(dāng)且僅當(dāng)t=3時,(S△ABC)max=
2
3
3
.…(15分)
點評:本題考查軌跡方程的求解,考查三角形的面積,解題的關(guān)鍵是利用代入法求軌跡方程,構(gòu)建面積函數(shù),利用基本不等式求最值.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上一動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件
QM
QP
(λ為非零常數(shù))的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若存在過點N(
1
2
,0)
的直線l與曲線C相交于A、B兩點,且
OA
OB
=0(O為坐標(biāo)原點),求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件
QM
=2
QP
的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標(biāo)原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件數(shù)學(xué)公式的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標(biāo)原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標(biāo)原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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