Question

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=2，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=8．

Answer 1

分析 設(shè)對角線AC、BD相交于O點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與向量加法法則，得到$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PO}$），代入$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$，展開后即可求得答案．

解答 解：如圖，
設(shè)對角線AC、BD相交于O點，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PO}$），
因此，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}•2\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PO}）$=2${\overrightarrow{AP}}^{2}+2\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PO}$，
∵|$\overrightarrow{AP}$|=2，$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{PO}$，
∴$|\overrightarrow{AP}{|}^{2}=4，\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PO}=0$，
由此可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=8$．
故答案為：8．

點評 本題在平行四邊形中求向量的數(shù)量積，著重考查了平行四邊形的性質(zhì)、向量的線性運算性質(zhì)、向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．